Solution de l’équation différentielle

La solution générale de l’équation différentielle est

$\mathrm{ U_C=Ae^{-\frac{t}{\tau}}+B }$

Il faut souvent déterminer l’expression des constantes A, B et τ en fonction de E (ou U₀), R et C. Pour cela il faut utiliser :

Remplacer la solution proposée dans l’équation différentielle
Utiliser les conditions initiales : U_C(0)=0 pour une charge et U_C(0)=U₀ pour une charge
Utiliser les conditions finales: U_C(∞)=E pour une charge et U_C(∞)=0 pour une charge

Pour une charge, on trouve ainsi :

$\mathrm{ U_C=E\left ( 1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right )}$

Pour une décharge, on trouve ainsi :

$\mathrm{ U_C=U_0\times e^{-\frac{t}{\tau}}}$

Démo (cas de charge) :

L’équation différentielle est satisfaite par la solution suivante :

$\mathrm{ {\color{red} U_C(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} +B }}$

Dérivons la solution :

$\mathrm{ {\color{blue}\frac{dU_C}{dt} = -\frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} }}$

équation différentielle :

$\mathrm{ E={\color{red}U_C(t)}+RC \times {\color{blue}\frac{dU_C(t)}{dt}}}$

Remplaçons la solution proposée dans l’équation différentielle :

$\mathrm{ E={\color{red}A e^{-\frac{t}{\tau}} +B}+RC \times {\color{blue}-\frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}}}}$

$\mathrm{ E=B + A e^{-\frac{t}{\tau}} - RC \frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} }$

$\mathrm{ E= B + A \left( 1 - \frac{RC}{\tau} \right) e^{-\frac{t}{\tau}} }$

Or cette relation est vraie quelque soit le temps, donc :

$\mathrm{ A \left( 1 - \frac{RC}{\tau} \right) e^{-\frac{t}{\tau}} = 0 }$

et ainsi B = E

Mais A≠0 , donc on a :

$\mathrm{ 1 - \frac{RC}{\tau} =0}$

$\mathrm{ - \frac{RC}{\tau} =-1}$

$\mathrm{ \frac{RC}{\tau} =1}$

$\mathrm{ RC=\tau}$

$\mathrm{ \tau=RC}$

Conditions initiales : à t = 0 , U_C(0)=0.

$\mathrm{U_C(t=0) = A e^{-\frac{0}{\tau}}+B = A + B}$

Donc A + B = 0

A = -B

A = -E

D’où

$\mathrm{ U_C(t) = E \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)}$